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0 引言
科里奧利質(zhì)量流量計(CMF)是一種用于直接測量質(zhì)量流量的流量計，它在原理上消除了溫度、壓力、流體狀態(tài)、密度等參數(shù)的變化對測量精度的影響，可以適應氣體、液體、兩相流、高粘度流體和糊狀介質(zhì)的測量，是一種高精度的適應范圍很廣的測量方法，它還具有
壓力損失小、自排空、保持清潔等眾多特點，是流量測量的發(fā)展方向之一。
科里奧利質(zhì)量流量計，是利用流體流過振動管道時產(chǎn)生科里奧利效應對管道兩端振動相位的影響來測量流過管道的流體質(zhì)量的。要深人了解CMF的工作情況并改進CMF的性能，有必要研究CMF的振動模態(tài)。其作用有:
①為了容易激振，一般都選擇測量管的諧振頻率作為激振頻率;
②選擇合適的激振頻率避開工業(yè)現(xiàn)場的干擾，會給信號分離帶來便利;
③激振器、拾振器和電路的設計及信號的處理都需要了解振動頻率;
④拾振器的布置需要了解CMF的模態(tài);
⑤結(jié)構(gòu)優(yōu)化，應力、應變以及疲勞壽命的計算;
⑥可以利用CMF系統(tǒng)中的振動信號進行狀態(tài)監(jiān)測和故障預報;
⑦了解振動的過程，得到偏離理想振動下的誤差以及補償;
⑧了解干擾振動帶來的誤差，采取措施來消除或防止系統(tǒng)可能出現(xiàn)的干擾振動，從而確保CMF的精度和可靠性心
1 科里奧利質(zhì)量流量計測量原理概述
科里奧利流量計有多種形式，下面以單直管科里奧利流量計為例來討論。
如圖l所示，測量管的中間設置有激振裝置，兩端設置有拾振傳感器。沒有流體流過的時候，管子的振動如圖la所示，管子兩端的振動狀態(tài)相同。當流體流過振動管道時，就產(chǎn)生和激振頻率相同的科里奧利加速度和科里奧利力，如圖lb所示，AC段和CB段的科里奧利力大小相同，方向相反，作用疊加在測量管上，便管子產(chǎn)生了扭曲和振動相位變化�？评飱W利力和流過管道的流體密度和流速成正比(即質(zhì)量流量)。對于線性系統(tǒng)，可知質(zhì)量流量卻相位差成正比。
圖l 質(zhì)量流量計測量原理 管道中流體的科里奧利加速度為  =2  ×  ，流體微元所受到的科里奧利力dFc=－dm ·  =2  ×  ·dm。入口段和出口段的瞬時振動角速度方向相反�？梢娙肟诙慰评飱W利力與振動方向相反，使振動減弱和滯后；出口段科里奧利力巧振動方向相同，使振動加強和提前。 根據(jù)兩端固定支承梁的振動方程和所受的科里奧利力，可以得出兩側(cè)檢測點的振動信號相位差和質(zhì)量流量成正比的結(jié)論：
  =(K / E)q m
式中：K為常數(shù)；E為彈性模量；qm為質(zhì)量流量。
如圖2所示，是單直管科氏質(zhì)量流量計的一種方案，由測量管、支承管、套管、電磁激振器、拾振器(電磁振動傳感器)和聯(lián)接法蘭等組成。
圖2 單直管科氏質(zhì)量流量計結(jié)構(gòu)
2 測量管的振動分析
測量管兩端和套管的聯(lián)結(jié)一般采用焊接或者膠接，中部受激振力，細長結(jié)構(gòu)，所以可以簡化為梁模型。兩端近似剛性支承，可以簡化為固支梁。
梁段的彎曲轉(zhuǎn)動效應與剪切變形略去不計，若引用牛頓力學來建立梁彎曲振動時的運動方程，可由梁中截取一微元段，梁在對稱平面內(nèi)作鉛垂方向振動時，微元主要作上下運動。圖3a表示在梁在x一y平面內(nèi)振動。靜止時y(x，0)=0。在某種激勵下梁離開了平衡位置。從梁的任意截面x取出一小段dx，它的受力見圖3b。這一小段的質(zhì)量為m，上下振動的加速度為  y /  t 2。由微元段的平衡條件得到： 式中：F為剪力；M為彎矩；m為梁單位長度的質(zhì)量；y為梁彎曲振動時的撓曲位移。
圖3梁的彎曲振動和微元受力分析
略去剪切變形對梁的撓曲位移的影響時，有
M=EIx 
式中：EIx為梁的抗彎剛度。用撓度y表示的梁的彎曲振動的運動微分方程：
 (EIx  )+m  =0 (2)
對于具有邊界條件的梁，運動方程式(2)可用分離變量法求解，為此設
y(t，x)=W(x)T(t) (3)
式中：T(t)代表每一點的運動規(guī)律，比如正弦振動；W(x)為x點的幅度，表示了橫向振動幅度沿著測量管軸向的分布。梁作彎曲振動時，解為
T(t)=Asin  t+Bcos  t (4)
對于等剖面的均勻梁，由式(2)也得(EI xW’’)－  2mW=0，記a 2=EI x / m，記  2 / a 2=k 4(即k=  )因而有微分方程：  (4)－k4W=0 (5)
通解形式為W(x)=A  ，代人式(5)得其特征方程  －k 4=0，特征根  =k，－k，jk，－jk(j為單位虛數(shù))。因此，式(5)的一般解為 W(x)=Cekx+De－kx+Eejkx+Fe－jkx (6)
式中：C，D，E及F由邊界條件決定。測量管一般是焊接到系統(tǒng)中的。所以邊界條件為固支，有：
x=0 時，Y（0，t）=0，即W（0）=0；Y’（0，t）=0，即W’(0)=0； x=L時，Y（L，t）=0，即W（L）=0；Y’（L，t）=0，即W’(L)=0；
解方程可得測量管的各階固有頻率：
 i=   (7)
3 有限元模態(tài)分析
CMF工作中，主要是要求測量管振動來實現(xiàn)對流量的測量，簡單一點是只考慮測量管的振動，認為它是固定在CMF中的；全面一點考慮，應該考慮對CMF整體建模，主要部件都應該加入模型。
實際中，測量管兩端并非剛性支承，如果要考慮套管等各個部件的振動，精確的理論模型會很復雜，一般只能采用有限元等數(shù)值計算方法來分析。本文中將對CMF做些簡化，暫不考慮激振器和拾振器的附加質(zhì)量的影響，也未考慮流固耦合的影響。采用MSC·Marc建立CMF的有限元模型。
3 CAD幾何模型和CAE模型的建立
CMF為軸對稱結(jié)構(gòu)，可以采用二維有限元模型，這里為了提高分析精度，采用了實體模型。
僅分析測量管時，由于其結(jié)構(gòu)簡單，所以可直接在Marc中方便地建立實體模型。如果要分析CMF整體的振動情況，需要對CMF整體建立實體模型。結(jié)構(gòu)較復雜，Marc中建模較麻煩，可以利用CAD軟件建立模型。CMF為軸對稱結(jié)構(gòu)，采用二維CAD模型在Marc中旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生三維CAD模型的建模方法。
①繪圖：在AutoCAD中以1：1的尺寸比例，繪制二維裝配圖(平面視圖)。省略或刪除一些對模態(tài)分析影響不大的細節(jié)結(jié)構(gòu)。按各零件的材料屬性和聯(lián)接關(guān)系，進行適當合并簡化。
②導入幾何模型：Marc的前后處理用戶界面Mentat具有多種CAD格式數(shù)據(jù)文件接□，故由此可讀入AutoCAD的DWG格式的二維模型，這樣既節(jié)省建模時間，又避免了重復建�？赡芤鸬牟铄e。
③幾何檢查：檢查每個區(qū)域是否由封閉曲線包圍，消除曲線間的小間隙，合并刪除過短曲線。焊接部位按照固聯(lián)處理，法蘭聯(lián)接簡化為固支。
④對各零件的平面區(qū)域分別劃分網(wǎng)絡：設種子點，自動劃分有限元網(wǎng)格，對局部不合理的畸形單元進行適當手工調(diào)整，對于重合節(jié)點進行合并操作，保證相交面的交線處網(wǎng)格匹配。將對應于不同零件的區(qū)域內(nèi)單元的全體，定義為不同的單元集合(element set)，以便后面對不同(零件)區(qū)域的單元進行不同的操作。單元集合的定義方法是選擇某個零件區(qū)域，分別執(zhí)行單元存儲操作，取合適的單元集名，就可存為不同的單元集合。命名盡量遵循見名知意的原則。
⑤旋轉(zhuǎn)生成實體：將整個二維網(wǎng)格繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)，就生成三維網(wǎng)格。平面單元的材料和幾何屬性也就自動賦給相應的三維單元。
在二維有限元分析中常用三角形和四邊形單元，三角形單元對分析區(qū)域的邊界逼近得較好，但變形性能不好，各邊上的應變值是常數(shù)，會出現(xiàn)所謂單元"變硬"的現(xiàn)象，分析精度下降。為此，圖4所示平面模型多采用四邊形單元。
圖4 CMF整體的二維平面網(wǎng)格圖
旋轉(zhuǎn)后的三維單元是Marc中的7號單元，為八節(jié)點六面體等參單元。采用假定應變法，提高低階單元的彎曲變形。
⑥合并區(qū)域鄰接處的冗余節(jié)點:測量管、套管和法蘭之間為剛性聯(lián)結(jié)，故即將各零件區(qū)域相鄰處的重復節(jié)點合并；支承管和法蘭之間采朋粘接。
⑦施加邊界條件：流量計是通過法蘭聯(lián)接安裝到管線上的。將法蘭的螺栓聯(lián)接簡化為固定法蘭外側(cè)面，忽略螺栓孔，即限制法蘭外側(cè)面上每個節(jié)點的全部6個自由度。
對于單獨測量管模型，有兩端固支、一端僅可軸向自由移動、懸臂(一端完全自由)等。固支簡化為管端面固定，約束端面節(jié)點的全部自由度；軸向自由是指沿著測量管軸線方向的移動自由度不限制；懸臂端，則沒有約束，完全自由。
本例中CMF裝配圖，其劃分后的二維平面網(wǎng)格如圖4所示。Marc中旋轉(zhuǎn)生成的整個流量計的實體模型，有限元網(wǎng)格如圖5所示。
圖5 CMF整體的三維有限元網(wǎng)格圖
3.2 有限元計算方法的選擇
模態(tài)求解，就是求解系統(tǒng)特征方程，方法主要有逆冪法和Lanczos法。當系統(tǒng)特征方程有兩個特征值很接近時，逆冪法可以得到滿意的結(jié)果；但如果有多于兩個特征值很接近，則收斂性較差。另外，逆冪法僅對提取少數(shù)幾階模態(tài)特別有效。
Lanczos法將特征值問題轉(zhuǎn)化為三對角矩陣的特征值問題，此法可用于確定所有模態(tài)或部分模態(tài)。由于本文所分析的流量計是軸對稱結(jié)構(gòu)，特征值一般會成對出現(xiàn)，采用逆冪法可能會出現(xiàn)求解過程無法收斂的問題，所以采用Lanczos法。
計算自由狀態(tài)的模態(tài)，受自由邊界條件的影響，剛度矩陣是半正定的，會出現(xiàn)剛體模態(tài)。必須允許非正定矩陣才能進行計算，矩陣的非正定經(jīng)過反復迭代會帶來很大誤差，使模態(tài)計算結(jié)果失真。根據(jù)剛體模態(tài)全是0頻的特點，設置模態(tài)計算的最低頻率大于0，濾去0頻率的影響，可以得到較好的計算結(jié)果。
4 有限元計算實例和分析
4·1測量管實體模型的模態(tài)與振型
建立測量管的實體模型，取測量管長度396mm(CMF整體長度除去法蘭長度)，壁厚1mm，約束測量管兩端所有節(jié)點的自由度。
計算測量管模態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)對于每一頻率，都有兩個模態(tài)，彎曲振動方向相互垂直，與測量管的軸對稱特征相吻合。相同頻率的兩個模態(tài)可以認為是同一階模態(tài)，與歐拉梁理論模型的計算結(jié)果吻合。前四階模態(tài)如圖6所示。
圖6 單獨的測量管模型計算所得測量管模態(tài)
一股選樣測量管的一階模態(tài)頻率作為CMF的激振頻率，這樣振幅大，有利于激振。也有利用高階模態(tài)或者檢測一階模態(tài)的高次諧波，有利于避開工業(yè)現(xiàn)場強的低頻干擾振動和噪聲。
4·2 CMF整體模型的模態(tài)與振型
圖7a～圖7d分別是CMF整體有限元模型的4階模態(tài)、套管彎曲、支承管和測量管彎曲、整體(三層管)扭轉(zhuǎn)、支承管彎曲等。為了便于查看，放大了變形，所以有時候會出現(xiàn)內(nèi)層管穿出來了，并不表示真的如此，實際中的變形是非常微小的。
圖7 CMF整體的模態(tài)
4．3 對比CMF整體有限元模型和單獨的測量管固支模型
CMF整體模態(tài)與測量管模態(tài)是一致的。整體模態(tài)中一、三、階模態(tài)就與測量管的一、二階模態(tài)對應，表現(xiàn)為測量管的一、二階彎曲，而且頻率相差在0.3%以內(nèi)。CMF整體模態(tài)中也出現(xiàn)了反映套管和支承振動的模態(tài)，所以流量計在設計過程中也應考慮支承管和套管對測量管的影響。
計算分析可以看出，只研究測量管低頻動態(tài)特性時，由于法蘭部分剛度較大，支承管和套管相對測量管剛度也較大，CMF中測量管的動態(tài)分析，可以根據(jù)具體情況，簡化為除去法蘭長度部分的測量管的分析，又由于其結(jié)構(gòu)細長還可以按梁式模型簡化。
表1 列出了前幾階模態(tài)。
表1 模態(tài)計算結(jié)果的比較
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模態(tài)頻率/Hz |
振型描述 |
|
階次 |
CMF整體模型 |
階次 |
測量管模型 |
|
1 |
445．414 |
1 |
446．52 |
測量管一階彎曲 |
|
2 |
1082．14 |
|
|
套管和支承管一階彎曲 |
|
3 |
1216．75 |
2 |
1215．16 |
測量管二階彎曲 |
|
4 |
1223．24 |
|
|
整體的扭轉(zhuǎn) |
|
5 |
1461．17 |
|
|
支承管一階彎曲 |
| |
|
3 |
2344．22 |
測量管三階彎曲 |
| |
|
4 |
3801．64 |
測量管四階彎曲 |
4·4 支承類型對模態(tài)頻率的影晌
前述兩端固支類型的單直管科里奧利質(zhì)量流量計中，軸向溫度應力和殘余應力的影響較大，所以流量計的溫漂和隨時間的漂移較大，另外由于彎曲剛度大，所以流量計的靈敏度低，相對環(huán)境干擾較大，就是信噪比較低。故需要采取各種措施改善。除了采取彈性模量小、熱膨脹系數(shù)低的材料外，結(jié)構(gòu)上也有很多措施，比如兩端附加剛度低的波紋管段，采取斷開式或懸臂結(jié)構(gòu)等，這樣測量管就可簡化為不同支承的梁。
下面我們就分析幾種支承對于模態(tài)頻率的影響。分析測量管的模態(tài)，分析方法同前，長度396mm，壁厚lmm，支承狀態(tài)及響應的模態(tài)頻率(單位為Hz)如表2所示。
表2 支承類型對模態(tài)頻率的影響
| 支承 |
| 階次 |
兩端固支 |
一端固支 一端軸向自由 |
兩端軸向自由 |
自由狀態(tài) |
懸臂狀態(tài) |
| 一階(彎曲) |
446．52 |
308．321 |
197．533 |
446．755 |
70．6445 |
| 二階(彎曲) |
1215．16 |
989．764 |
785．203 |
1221．35 |
439．713 |
| 三階(彎曲) |
2344．22 |
2038．01 |
1748．84 |
2366．12 |
1218．78 |
| 四階(彎曲) |
3801．64 |
3201．97（收縮） |
3066．7 |
3852．21 |
2355．05 |
比較表2不同支承的模態(tài)頻率，可以知道，兩端固支（限制節(jié)點的所有自由度）和不約束時，模態(tài)相同，模態(tài)頻率較高。
軸向可以自由伸縮時，一價模態(tài)頻率降低，僅一端軸向自由(約束除軸向外的其余自由度)時，模態(tài)頻率居中；兩端均軸向白由時，模態(tài)頻率更低一些，一端完全自由的(懸臂)，一階模態(tài)頻率最低。
有自由端時，模態(tài)頻率降低的原因，應該主要是彎曲過程中基本消除了軸向伸縮振動產(chǎn)生的軸向力的影響。實際振動中，由于軸向伸縮振動過程中存在慣性力，所以軸向力不可能完全消除。當有一端固定的時候，會對軸向伸縮振動產(chǎn)生約束，會增大軸向力，所以會增大模態(tài)頻率。
一端固定，另一端可自由伸縮時，其結(jié)果相對兩端全部固定的測量管模態(tài)頻率低，由于約束不對稱，出現(xiàn)了模態(tài)的不對稱，而且由于軸向自由度沒有限制出現(xiàn)軸向收縮模態(tài)(限于篇幅，圖略去)。
5 結(jié)論
有限元分析在科里奧斯質(zhì)量流量計的動態(tài)分析中有重要作用，本文對其進行了模態(tài)分析計算。對于整體的模態(tài)分析，依據(jù)其軸對稱結(jié)構(gòu)特點，可利用現(xiàn)成的二維CAD視圖，導人到Marc中，對不同的零件區(qū)域分別劃分網(wǎng)格，然后旋轉(zhuǎn)生成三維模型。采用Lanczos法計算模態(tài)。對比單獨的測量管模型的模態(tài)計算結(jié)果，可知整體模型的模態(tài)類型多，可能有一些模態(tài)會干擾測量管的正常工作模態(tài)。另外支承狀態(tài)對模態(tài)有很大影響，主要原因是彎曲振動引起的附加軸向伸縮振動，產(chǎn)生的軸向力會阻礙彎曲振動。 | 
=m 
； 
=F (1)
